Explained: Arşimet (Archimedean) Özelliği

Matematikte, kendisinden uzun uzun bahsedilmeyen, ne işe yaradığı çok da bilinmeyen, fakat aslında kanıksadığımız birçok gerçeğin nedenini anlamamıza yardımcı olan, ve hatta çoğu ispatta alttan alta kullanılan bazı temel özellikler vardır. İşte şimdi, bu özelliklerden biri olan Arşimet (Archimedean) özelliğinden bahsedeceğiz. Küçük bir uyarı: Anlatacağım özelliğin meşhur “Eureka Anı” ile hiçbir ilgisi yok. Avusturyalı matematikçi Otto Stolz’un bu özelliğe “Arşimet özelliği” demesinin sebebi, orijinal halinin, Arşimet’in Küre ve Silindir Üzerine isimli çalışmasında V. aksiyom olarak bulunması.

Aksiyomun orijinal ve günümüzdeki ifadesinden bahsetmeden önce geniş bir terminolojiye ihtiyacımız olacak. O halde işin en temeline inelim ve işe, sıralı cisimlerin tanımı ile başlayalım.

Bir S kümesi üzerinde bir sıralama (order), aşağıdaki özellikleri sağlayan bir < bağıntısıdır:
\bullet Her x,y\in S için x<y, x=y ya da y<x‘dir.
\bullet Her x,y,z\in S için x<y ve y<z ise x<z‘dir.

Bir < sıralaması için, x\leq y gösterimi x<y ya da x=y anlamına gelirken; x>y gösterimi, y<x‘in bir diğer ifade ediliş biçimidir.

Şimdi (F,+, .) bir cisim ve <, F üzerinde bir sıralama olsun. Eğer bu sıralama, her x,y,z\in F için
1) x<y ise x+z<y+z,
2) 0<x ve 0<y ise 0<x.y
özelliklerini sağlanıyorsa F‘ye bir sıralı cisim denir. Örneğin reel sayılar, üzerindeki bilinen sıralama ile bir sıralı cisimdir. Fakat kompleks sayılar üzerinde bu özelliklere sahip bir sıralama tanımlanamaz. Peki neden? Eğer böyle bir sıralama olsaydı, i\neq 0 olduğundan, sıralamanın özelliğinden dolayı, elimizde iki durum olurdu:
(i) i>0: Öncelikle 2’den i.i=i^2=-1>0 olur. Burada yine aynı özellik kullanılırsa, 1=(-1).(-1)>0 elde edilir ve bu iki durum birbiriyle çelişir.
(ii) i<0: Bu durumda 1’den 0=i+(-i)<0+(-i)=-i ve böylece 2’den 0<(-i).(-i)=(-1).i.(-1).i=1.i^2=-1 olur. Burada yine 1’i kullanırsak, 1=0+1<(-1)+1=0 elde ederiz. Diğer taraftan (i)’de gösterildiği gibi 1>0 olacaktır, ki bu iki durum birbiriyle çelişir.

Şimdi özel bir sıralı cisim olan ve sıralı olmasının yanı sıra tamlık (completeness) gibi bir özelliği sağlayan reel sayılarla devam edelim. Bunun için önce üstten sınırlılık ve supremum kavramlarının neyi ifade ettiğinden bahsetmek gerekir. İsminden de anlaşılacağı gibi, bir S\subseteq F altkümesi verildiğinde, her x\in S için x\leq b olacak şekilde bir b\in F bulunabiliyorsa, S kümesi üstten sınırlıdır denir. Tabii bu durumda b\in F, S kümesi için bir üst sınır olarak adlandırılır. Örneğin S=(0,1)\subseteq \mathbb{R} kümesi için b=1, b=2.5, b=125 gibi elemanların her biri birer üst sınırdır. İşte biz bu üst sınırların en küçüğüne S kümesinin supremumu (ya da kısaca sup S) diyeceğiz. S=(0,1) kümesi için sup S=1 olduğuna dikkat edelim. Bu örnek sayesinde bir kümenin supremumunun kümenin içinde olması gerekmediğini de görebiliriz.

İşte tamlık aksiyomu (ya da diğer ismiyle, en küçük üst sınır özelliği) diyor ki “Üstten sınırlı her kümenin bir supremumu vardır

Tamlıkla ilgisi olmasa da, hazır yeri gelmişken supremum ve maksimum arasındaki farktan da bahsetmek gerekir. Maksimum, kümeye ait olan en büyük elemandır ve küme üstten sınırlı bile olsa, her zaman var olması gerekmez. Yine (0,1) kümesini ele alırsak, bu kümenin bir maksimum elemanının olmadığını söyleyebiliriz. Çünkü hem bu kümede ikamet edip, hem de kümedeki her elemandan daha büyük olan bir eleman bulunamaz. Fakat eğer elimizde S=(0,1] kümesi olsaydı, burada sup S=maks S=1 olduğunu söyleyebilirdik. Genel olarak bir S kümesinin maksimumu varsa, maks S=sup S olacağına dikkat edelim.

Reel sayılar tamlık özelliğini sağlar ve hatta tamlık aksiyomunu sağlayan her sıralı cisim birbirine izomorf olduğundan, reel sayıların, bu özelliğe sahip tek sıralı cisim olduğu söylenilebilir. Ama örneğin rasyonel sayılar tamlık aksiyomunu sağlamaz. Bunu görmek için S=\{r\in \mathbb{Q} : r^2<2\}\subseteq \mathbb{Q} alt kümesini ele alalım. Öncelikle 1\in S olduğundan üzerinde çalışacağımız bu küme boştan farklıdır, yani ispat yaparken boşa kürek çekmiş olmayız. Ayrıca r\in S için r^2<2<16 olduğundan r<4 olur. Yani kümenin bir üst sınırı vardır. Şimdi tersine, sup S=b var olduğunu kabul edelim. Rasyonel sayılar sıralı bir cisim olduğundan b^2=2, b^2<2 ya da b^2>2 olmalıdır. Fakat;

\bullet q^2=2 özelliğine sahip bir q\in \mathbb{Q} olmadığından b^2=2 olamaz.

\bullet b^2<2 ise, rasyonel sayılar reel sayılarda yoğun olduğundan b<q<\sqrt{2} olacak şekilde bir q\in \mathbb{Q} vardır. Ayrıca, q^2<2 olduğundan q\in S olması gerekir. Fakat bu durumda, kümenin bir üst sınırı olan b‘den daha büyük bir eleman bulunmuş olur ve bu durum bir çelişkiye yol açar.

\bullet b^2>2 ise, b>q>\sqrt{2} olacak şekilde bir q\in \mathbb{Q} vardır. Burada q^2>2 olduğundan, S kümesinin tanımı gereği, her r\in S için r<q‘dir. Bu da aslında q‘nun S için bir üst sınır olması anlamına gelir. Fakat bu durum yine bir çelişkiye yol açar, çünkü b>q olduğundan, en küçük üst sınır olan b‘den daha küçük bir üst sınır bulunmuş olur.

Sonuç olarak üstten sınırlı S kümesinin bir supremumu yoktur ve bu nedenle \mathbb{Q} tamlık özelliğini sağlamaz.

Şu an Arşimet özelliğinden bahsetmek için gereken tüm bilgilere sahibiz:

F bir sıralı cisim ve x,y\in F, x>0 olmak üzere, nx>y olacak şekilde bir n\in \mathbb{N} varsa, F cismi Arşimedyandır ya da Arşimet özelliğini sağlar denir.

The Archimedean Property - Infinity is Really Big

Arşimet’in orijinal metninde bu özellik x,y sayılarıyla değil de, doğal olarak, büyüklüğü birbirine eşit olmayan iki doğru, yüzey ya da katılar yardımıyla ifade edilmiştir. İzini sürebildiğimiz ilk hali ise, bir önceki yazıda bahsettiğimiz Eudoxus’a aittir.

Arşimet özelliğini sağlamayan bir sıralı bir cisimde, her \mathbb{N} için n\epsilon<y olacak şekilde \epsilon>0 sayıları vardır. Dikkat edersek bu sayılar, ne kadar büyük doğal sayılarla çarpılırlarsa çarpılsın, sistemdeki hiçbir sayıyı aşamayacak kadar küçüktür. Yani aslında bu sayılar sonsuz küçük sayılardır. Dolayısıyla, Arşimet özelliğini sağlayan sıralı cisimlerde sonsuz küçük sayılara yer yoktur diyebiliriz.

Şimdi reel sayıların Arşimet özelliğini sağladığını görelim: Bunun için tersine, reel sayıların bu özelliğe sahip olmadığını, yani her n\in \mathbb{N} için nx< y olacak şekilde x,y\in\mathbb{R}, x>0 sayılarının olduğunu kabul edelim. Bu durumda A=\{nx : n\in \mathbb{N}\} kümesi y ile üstten sınırlıdır. Bu nedenle, \mathbb{R}‘nin tamlık özelliğinden b=sup(A) vardır. Burada b-x<b olduğundan b-x bu küme için bir üst sınır olamaz. Çünkü en küçük üst sınır b‘dir ve bundan daha küçük olan bir sayının üst sınır olması beklenemez. Şimdi aklımızda bir sayı doğrusu çizelim ve A kümesini burada bir aralık gibi düşünelim. b-x, A kümesini üstten sınırlamıyorsa bu şu anlama gelir: A‘nın, b-x‘den büyük olan en az bir elemanı olmalıdır. Yani, b-x<mx olacak şekilde bir m\in \mathbb{N} vardır. Bu son eşitsizlikle biraz oynarsak, b<mx+x=(m+1)x elde ederiz. Burada, A kümesinin tanımı gereği (m+1)x\in A olması gerekir. Fakat A‘nın bir elemanı nasıl olur da b=sup A sayısından daha büyük olabilir? Demek ki bu durum bize bir çelişki verir ve bizi bu çelişkiye ulaştıran kabulün yanlış olduğunu söyleyebiliriz. Yani, reel sayılar Arşimedyandır.

Son olarak, bu özelliğe sahip olmayan sıralı cisimlerin var olduğuna dair bir örnekle konuyu kapatalım. \mathbb{R}[x], katsayıları reel sayılar olan tüm polinomların kümesini göstersin. Öncelikle, \mathbb{R} bir cisim olduğundan, \mathbb{R}[x] bir halkadır. Şimdi bu halkayı kullanarak, rasyonel polinomlar cismini inşa etmeye çalışalım. Bunun için, \mathbb{R}(x)=\{\frac{p(x)}{q(x)} : p(x),q(x)\in \mathbb{R}[x], q(x)\neq 0\} kümesini tanımlayalım. Burada, rasyonel polinomların en sade hallerinde olduklarını ve q(x)‘in baş katsayısının 1 olduğunu kabul edelim (değilse bile, bu forma getirmek mümkündür.) İşte bu yolla edilen \mathbb{R}(x) bir cisimdir. Bu cisimde bir \frac{p(x)}{q(x)} elemanının pozitif olması için gerek ve yeter koşul, p(x)‘in baş katsayısının (yani en yüksek dereceli teriminin katsayısının) pozitif olması olsun. Pozitif elemanlar yardımıyla, \mathbb{R}(x) üzerinde, “P, Q\in \mathbb{R}(x) için P<Q \Leftrightarrow Q-P>0” biçiminde bir sıralama tanımlayabiliriz.

Şimdi h(x)=\frac{x}{1}\in \mathbb{R}(x) olsun ve Arşimet özelliğinin sağlanmadığını görmek için h(x),1\in \mathbb{R}(x) ikisini ele alalım. Her n\in \mathbb{N} için h-n1=\frac{x-n}{1} pozitif, yani h-n1=\frac{x-n}{1}>0 olduğundan n1<h olacaktır. İşte bu nedenle \mathbb{R}(x) Arşimedyan değildir.

Farkında olmasak da Arşimet özelliğini birçok ispatta kullanıyoruz. Ama genelde yukarıdaki ifadeyi değil de, ona denk olan “Her \epsilon>0 için \frac{1}{n}<\epsilon olacak şekilde bir n\in \mathbb{N} vardır” ifadesini. En basitinden \frac{1}{n} dizisinin limitinin 0 olduğunu ya da doğal sayıların üstten sınırlı olmadığı gösterirken bile bu özelliği kullanmamız gerekiyor. Oldukça uzun bir yazı olduğu için ispata girmeyelim ama sebebini merak edenler için buraya bırakalım. Son olarak teoremin tüm diğer sonuçlarını görmek isteyenler ise buraya bir göz atabilirler.

Kaynaklar
1) https://en.wikipedia.org/wiki/Ordered_field
2) https://infinityisreallybig.com/2021/01/19/definitions-of-ordered-set-and-ordered-field/
3) https://infinityisreallybig.com/2021/06/07/the-archimedean-property/
4) https://www.stumblingrobot.com/2015/07/02/prove-that-the-rationals-satisfy-the-archimedean-property-but-not-the-least-upper-bound-axiom/
5) https://www.mathcounterexamples.net/a-non-archimedean-ordered-field/
6) https://www.uobabylon.edu.iq/eprints/paper_12_27257_140.pdf
7) https://www.impan.pl/~pmh/teach/algebra/additional/nonarchimedian.pdf
8) http://users.uoa.gr/~apgiannop/Sources/Hjelmslev-1950-Centaurus.pdf

Bir Cevap Yazın

Aşağıya bilgilerinizi girin veya oturum açmak için bir simgeye tıklayın:

WordPress.com Logosu

WordPress.com hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap /  Değiştir )

Twitter resmi

Twitter hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap /  Değiştir )

Facebook fotoğrafı

Facebook hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap /  Değiştir )

Connecting to %s